非法开荒的投诉或举报部门主要涉及以下几类：

自然资源管理部门：

依据《土地管理法》和《草原法》，非法开荒行为应由自然资源管理部门负责监管和查处。具体来说，可以向当地的自然资源管理部门提出举报，该部门负有土地管理的职责。

草原行政主管部门：

针对草原被非法开垦种地的情形，可以向县级以上人民政府草原行政主管部门投诉。草原法规定，非法开垦草原的行为将受到相应的行政处罚，并在构成犯罪时依法追究刑事责任。

瓜州县自然资源局：

以瓜州县为例，自然资源局积极开展非法开荒排查整治工作，并与水务局、供电公司联合行动，明确具体工作内容、摸排范围和重点，全面压实各部门工作责任。

瓜州县水务局和国网瓜州县供电公司：

在瓜州县，水务局和国网瓜州县供电公司也参与非法开荒的整治工作，联合印发整治方案，明确各部门职责，加强联动执法。

公安机关和检察院：

在情况严重且证据确凿的情况下，建议直接联系公安机关或检察院进行举报。他们可依法追究非法开荒行为的刑事责任。

乡镇政府：

加强与各乡镇的协作，形成信息共享和违法共治的局面。

综上所述，非法开荒的投诉或举报部门可以是当地的自然资源管理部门、草原行政主管部门、瓜州县自然资源局、瓜州县水务局、国网瓜州县供电公司、公安机关或检察院，具体选择哪个部门进行举报，可以根据实际情况和所在地的具体安排来决定。