在刑事拘留期间，犯罪嫌疑人或其家属、律师可以在以下时间节点申请取保候审：

拘留后的7天内：

对于犯罪情节较轻、社会危害性较小等情形，公安机关可能会主动考虑取保候审，家属或律师也可向公安机关提交取保候审申请。

拘留后的30天内：

对于多次流窜作案、结伙作案等复杂案件，拘留期限可延长至30天，在此期间同样可以申请取保候审。

审查批准逮捕期间的30天至37天：

公安机关在拘留满30天后，会向检察院提请批捕，检察院有7天的时间做出是否批捕的决定。在此期间，律师可以向检察院提交不予批捕意见，争取让检察院作出不批捕决定，从而使当事人获得取保候审或者监视居住。

拘留后的24小时内：

虽然法律上没有明确规定，但在实际操作中，被刑事拘留后办理取保候审的最佳时期通常是被刑拘后的七天内和三十七天内，因此，24小时内申请也是有可能的。

综上所述，刑事拘留后申请取保候审的时间节点主要集中在拘留后的7天内、30天内以及审查批准逮捕期间的30天至37天内。建议在这些关键时间点前提交取保候审申请，并尽可能提供充分的理由和保证，以提高申请成功率。