一道初中几何题-求菱形的周长

如图一个菱形ABCD， 其内切圆上有一点P与AD， AB和BC的距离分别是9,5,16，求这个菱形的周长。

解：如图做图示的辅助线,其中S和T是切点，O是圆心。

菱形的四个边相等，且相对于对角线对称，其对边的高是相等的，首先可以求出高，这样内切圆的半径就可以求得。

高=PX+PZ=9+16=25，

这样OS=25/2,

这样根据两个直角三角形OPM和OPN可以求出YT和XS，

设AS=AT=k, 则有AX=k-12, AY=k-10,

因为三角形APX和三角形APY都是直角三角形，再次对斜边AP利用勾股定理：

可以证明三角形AOD是直角三角形，这是因为菱形的对角线是角的平分线，而平行四边形的内角和为180度，一般之和为90度，所以角∠AOD=90°，

根据直角三角形AOS相似于直角三角ODS，因此相似比

SD/OS=OS/AS=(25/2)/25=1/2

因此SD=OS/2=25/4

所以菱形的一个边长AD=AS+SD=25+25/4

因此菱形的周长=4AD=4（25+25/4）=125